Геометрический смысл производной презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему. Геометрический смысл производной Практическая исследовательская работа Геометрический смысл производной

, Геометрический смысл производной

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: выяснить, в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной к графику функции.

Познавательная задача: сформировать представление о геометрическом смысле производной, умения составлять уравнение касательной к графику функции в заданной точке, находить угловой коэффициент касательной к графику функции, угол между касательной к графику и осью Ох.

Развивающая задача: продолжить формирование умений и навыков работы с научным текстом, умения анализировать информацию, способность ее систематизировать, оценивать, использовать; развитие логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

Воспитательная задача: повышение интереса к процессу обучения и активного восприятия учебного материала, развитие коммуникативных навыков работы в парах, группах.

Практическая задача: формирование навыков критического мышления как творческого, аналитического, последовательного и структурированного мышления, формирование навыков самообразования.

Форма урока: проблемный урок с использованием технологии развития критического мышления (ТРКМ).

Используемая технология: технология развития критического мышления, технология работы в сотрудничестве

Используемые приемы: “Корзина идей”,“Толстые и тонкие вопросы”,верные, неверные утверждения, ИНСЕРТ, кластер, “Шесть шляп мышления”.

Оборудование: презентация PowerPoint, интерактивная доска, раздаточный материал (карточки, текстовый материал, таблицы), листы бумаги в клетку,

Ход урока

Стадия вызова:

1. Вступление учителя.

Мы работаем над освоением темы “Производная функции”. Вы уже обладаете знаниями и умениями по технике дифференцирования. Но зачем необходимо изучать производную функции?

“Корзина идей”.

Предположите, где можно использовать полученные знания?

Ученики предлагают свои идеи, которые фиксируются на доске. Получаем кластер, который к концу урока может значительно разветвиться.

Как видите, у нас нет однозначного ответа на этот вопрос. Сегодня мы попытаемся частично ответить на него. Тема нашего урока “Геометрический смысл производной”.

Мотивация деятельности.

Из открытого банка заданий на сайте ФИПИ, материалов подготовки к ЕГЭ я выбрала несколько заданий, в которых есть термины “функция” и “производная”. Это задания В8. Они лежат перед вами на партах.

Примеры заданий В8. Задание. На рисунках изображены графики функций y = f(x) и касательные к ним в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Можете ли вы предложить способ решения данных заданий? (Нет)

Вот сегодня мы научимся решать такие задания и подобные им.

2. Актуализация опорных знаний и умений.

Работа в парах “Составь пару”. Приложение №1

Перед вами таблица. В клетках таблицы в беспорядке записаны функции и их производные. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие номеров клеток.

Время работы

• 2 мин каждый ученик работает самостоятельно.
• 2 минуты - работа в парах. Обсуждение результатов и запись в карточку ответов.
• 1 минута – проверка работы.

1. Что было легким, а что не получилось?
2. Нахождение производных каких функций вызвало затруднения?

3. Работа со словарем урока.

Словарь урока: производная; функция, дифференцируемая в точке; линейная функция, график линейной функции, угловой коэффициент прямой, касательная к графику, тангенс угла в прямоугольном треугольнике, значения тангенсов углов (острого, тупого).

Ребята, задайте друг другу вопросы, используя слова словаря не менее 4 вопросов. Вопросы не должны предполагать ответы “да”, “нет”.

Затем по одному заданному вопросу и ответу выслушиваем от каждой пары, вопросы не должны повторяться.

На столах у вас лежат карточки с вопросами. Все они начинаются со слов “Верите ли вы, что…”

Ответ на вопрос может быть только “да” или “нет”. Если “да”, то справа от вопроса в первом столбце поставьте знак “+”, если “нет”, то знак “-”. Если сомневаетесь - поставьте знак “?”.

Работайте в парах. Время работы 3 минуты. (Приложение №2)

Заслушав ответы учащихся, заполняется первый столбец сводной таблицы на доске.

Стадия осмысления содержания (10 мин.).

Подводя итоги работы с вопросами таблицы, учитель готовит учеников к мысли, что, отвечая на вопросы, мы пока не знаем, правы мы или нет.

Задание группам. Ответы на вопросы можно найти, изучив текст §8 стр. 84-87 (или предложенные листы с извлечением материала параграфа, на которых можно свободно делать рукописные пометки), используя прием ИНСЕРТ - прием смысловой маркировки текста .

V - уже знал(а)

– - думал(а) иначе

Не понял(а)

Обсуждение текста параграфа §8.

Что вы уже знали, что для вас – новое, а что вы не поняли?

Обсуждение, разъяснение непонятого.

Ответы групп на вопросы:

Какой знак имеет f " (x 0)?

Стадия рефлексии . Предварительное подведение итогов.

Вернемся к вопросам, рассмотренным в начале урока, и обсудим полученные результаты. Посмотрим, может быть, наше мнение после работы изменилось.

Учащиеся в группах сопоставляют свои предположения с информацией, полученной в ходе работы с учебником, вносят в таблицу изменения, делятся мыслями с классом, обсуждают ответы на каждый вопрос.

Стадия вызова.

Как вы думаете, в каких случаях, при выполнении каких заданий можно применить рассмотренный теоретический материал?

Предполагаемые ответы учащихся: нахождение значения производной функции f(x) в точке x 0 по графику касательной к функции; угла между касательной к графику функции в точке х 0 и осью Ох; получение уравнения касательной к графику функции.

Предлагаю начать работу над алгоритмами нахождения значения производной функции f(x) в точке x 0 по графику касательной к функции; угла между касательной к графику функции в точке х 0 и осью Ох; получения уравнения касательной к графику функции.

Составьте алгоритмы:

1. нахождения значения производной функции f(x) в точке x 0 по графику касательной к функции;
2. угла между касательной к графику функции в точке х 0 и осью Ох;
3. получения уравнения касательной к графику функции.

Стадия осмысления содержания.

1) Работа по составлению алгоритмов.

Каждый выполняет работу в тетради. А затем, обсудив в группе, приходят к единому мнению. После завершения работы представитель каждой из групп выступает с защитой своей работы.

Алгоритм нахождения значения производной функции f(x) в точке x 0 по графику касательной к функции.

Алгоритм нахождения угла между касательной к графику функции в точке х 0 и осью Ох.

.Алгоритм получения уравнения касательной к графику функции

1) Работа по применению изученного на практике. (Приложение №4)

2) Рассмотрение заданий В8.

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0

Задача 2. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Задача 4. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Ответы. Задача 1. 2. Задача 2. -1 Задача 3. 0 Задача 4. 0,2 .

Рефлексия.

Подведем итоги.

• Самооценка

“Лист самопроверки, самооценки”

• Зачем необходимо изучать производную функции? (Для исследования функций, скорости протекания различных процессов в физике, химии...)

• Используя прием “Шесть шляп мышления”, мысленно надевая шляпу определенного цвета, проанализируем работу на уроке. Смена шляп позволит нам увидеть урок с разных позиций для получения наиболее полной картины.

Белая шляпа: информация (конкретные суждения без эмоционального оттенка).

Красная шляпа: эмоциональные суждения без объяснений.

Черная шляпа: критика – отражает проблемы и трудности.

Желтая шляпа: позитивные суждения.

Зеленая шляпа: творческие суждения, предложения.

Синяя шляпа: обобщение сказанного, философский взгляд.

На самом деле мы только прикоснулись к решению заданий на использование геометрического смысла производной. Дальше нас ожидают еще более интересные, разнообразные и сложные задания.

Домашнее задание: § 8 стр.84-88, № 89-92, 94-95 (четные).

Литература

1. Заир.Бек С.И. Развитие критического мышления на уроке: пособие для учителей общеобразоват. учреждений. – М. Просвещение, 2011. – 223 с.
2. Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни. – М.: Просвещение, 2010.
3. Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru/or/ege/Main.html?view=TrainArchive
4. Открытый банк заданий ЕГЭ/Математика http://www.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/afrms.php?proj=

Интернет-сайты, связанные с тематикой критического мышления

Critical Thinking http://www.criticalthinking.org/
http://www.ct-net.net/ru/rwct_tcp_ru

Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации: В.Н. Егорова, учитель математики КОУ «Средняя школа №1 (очно-заочная)»Определение производной. Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная АСВtg A-?tg В -?АВСРабота устноТангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему

АСВtg A-?tg В -?47АВСНайдите градусную меру < В.3Найдите градусную меру < А.Работа устноВычислите tgα, если α = 150°.

На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?Работа устно Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции разная. Что касается Матвея - у его дохода она вообще отрицательнаРабота устно

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем? На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может меняться быстрее или медленнее
Производная- это скорость изменения функцииКонспект
Задачи, приводящие к понятию производной1. Задача о скорости изменения функцииНарисован график некоторой функции. Возьмем на нем точку с абсциссой. Проведём в этой точке касательную к графику функции. Для оценки крутизны графика функции удобная величина - тангенс угла наклона касательной. В качестве угла наклона мы берем угол между касательной и положительным направлением оси OX Найдем k=tg α∆АМN: ˂ АNМ = 90˚, tgα = 𝐴𝑁𝑀𝑁 Геометрический смысл производнойКонспект

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Геометрический смысл производнойПроизводная функции равна тангенсу угла наклона касательной-это есть геометрический смысл производной
SВремя в пути равно tАBU=S / tЗадачи, приводящие к понятию производной2. Задача о скорости движения
ЗАДАЧА. По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения(метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой S=s(t), где t – время (в секундах), s(t) – положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).РЕШЕНИЕ. Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке MOM=S(t). Дадим аргументу t приращение ∆t и рассмотрим ситуацию в момент времени t + ∆t . Координата материальной точки станет другой, тело в этот момент будет находиться в точке P: OP= s(t+ ∆t) – s(t). Значит, за ∆t секунд тело переместилось из точки M в точку P.Имеем: MP=OP – OM = s(t+ ∆t) – s(t). Полученная разность называется приращением функции: s(t+ ∆t) – s(t)= ∆s. Итак, MP= ∆s (м).Тогда средняя скорость на промежутке времени : 𝑣ср.=∆𝑆∆𝑡 Средняя скорость S(t)S(t + Δt)0МРΔt
Производной функции y = f(x) в данной точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.Обозначение производной: 𝑦′𝑥0 или 𝑓′𝑥0 𝑓′𝑥0=lim∆𝑥→0∆𝑦∆𝑥 или 𝑓′𝑥0=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥 ОпределениеКонспект
Мгновенная скорость – это средняя скорость на промежутке при условии, что ∆t→0, т. е.:𝒗мгнов.=𝒍𝒊𝒎∆𝒕→𝟎𝒗ср.=𝒍𝒊𝒎∆𝒕→𝟎∆𝑺∆𝒕 Мгновенная скоростьКонспект Рассмотрим два значения аргумента х0 и ∆х, где ∆х-приращение аргумента.Найдём приращение функции ∆f(x) = f(x0 + ∆х) – f(x0)Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента ∆𝐟(х)∆хВычислим предел этого отношения при ∆х → 0 lim∆𝑥→0Δ𝑓(𝑥)Δ𝑥=𝑓′(𝑥) Алгоритм нахождения производной (по определению) Пример вычисления производнойРешениеКонспект

Пример 2.Найти производную функции y = xРешение: f(x) = x.1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥=𝑥+∆𝑥−𝑥=∆𝑥.3.∆𝑓∆𝑥=∆𝑥∆𝑥=1.4.𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→01=1.Значит, (𝒙)′ = 1 Пример вычисления производной Пример 3.Найти производную функции y = x2Решение: f(x) = x2.1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥=(𝑥+∆𝑥)2−𝑥2=𝑥2+2𝑥∆𝑥+(∆𝑥)2−𝑥2=∆𝑥(2𝑥+∆𝑥).3.∆𝑓(𝑥)∆𝑥=∆𝑥(2𝑥+∆𝑥)∆𝑥=2𝑥+∆𝑥.4.𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→0(2𝑥+∆𝑥)=lim∆𝑥→02𝑥+lim∆𝑥→0∆𝑥=2𝑥.Значит, (𝒙𝟐)′ = 2x Пример вычисления производной Пример 4.Найти производную функции y =𝒌𝒙+𝒎Решение: f(x) = 𝑘𝑥+𝑚.1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥=𝑘𝑥+∆𝑥+𝑚− 𝑘𝑥−𝑚=𝑘𝑥+𝑘∆𝑥−𝑘𝑥=𝑘∆𝑥.3.∆𝑓(𝑥)∆𝑥=𝑘∆𝑥∆𝑥=𝑘.4.𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→0𝑘=𝑘.Значит, (𝒌𝒙+𝒎)′ = k Пример вычисления производной Пример 5.Найти производную функции y = 𝟏𝒙Решение: f(x) = 1𝑥.1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥= 1𝑥+∆𝑥−1𝑥=𝑥−𝑥−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥)=−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥) .3.∆𝑓(𝑥)∆𝑥=−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥):∆𝑥=−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥)∆𝑥=−1𝑥(𝑥+∆𝑥) .4.𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→0−1𝑥(𝑥+∆𝑥)=−1lim∆𝑥→01𝑥2+𝑥∆𝑥=−lim∆𝑥→01lim∆𝑥→0𝑥2+lim∆𝑥→0𝑥∆𝑥=−1𝑥2 .Значит, 𝟏𝒙′ = −𝟏𝒙𝟐 Пример вычисления производной Таблица производных𝑪′=𝟎 𝒙’ = 1𝒙𝟐′=𝟐𝒙𝒌𝒙+𝒎′=𝒌𝟏𝒙= −𝟏𝒙𝟐 Закончи фразу:Наш сегодняшний урок был посвящен …На уроке я узнал, что …На уроке я научился …Производная функции в точке равна … касательной, проведенной к графику функции в данной точкеСкорость изменения функции - это …Мне было трудно … МОЛОДЦЫ!
ppt_y

Приложенные файлы

Слайд 2

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. А.Н.Крылов

Слайд 3

Цель урока

1) выяснить, в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнения касательной к графику функции 2) Развивать ОУУН мыслительной деятельности: анализ, обобщение и систематизация, логическое мышление, сознательное восприятие учебного материала 3) формировать умение оценивать свой уровень знаний и стремление его повышать, способствовать развитию потребности к самообразованию. Воспитание ответственности, коллективизма.

Слайд 4

Словарь урока

производная, линейная функция, угловой коэффициент, непрерывность, тангенсы углов (острый, тупой).

Слайд 5

Составь пару 3 мин каждый ученик работает самостоятельно, 2 минуты - работа в парах. Обсуждение результатов и запись в карточку ответов. (Карточка №1 остается у ученика для самоконтроля, карточка №2 должна быть сдана учителю)

Слайд 6

Ответ.

Составь пару

Слайд 7

Определение

Функция заданная с помощью формулы у=кх+b называется линейной. Число k=tg называется угловым коэффициентом прямой.

Слайд 8

y x -1 0 1 2 y=кх+b

Слайд 9

y x -1 0 1 2 y=кх+b

Слайд 10

y x 0 y=yₒ+к(х-xₒ)   x-xₒ y-yₒ xₒ x Mₒ(xₒ;yₒ) M(x;y) A(x;yₒ)

Слайд 11

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (х0;у0) у=у0+k(x-x0) Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (х0;у0) у=у0+k(x-x0) (1) Угловой коэффициент прямой проходящий через точки (х1;у1) и (х0;у0) (2)

Слайд 12

y x -1 0 1 2 Найдите угловой коэффициент прямой y=кх+b

Слайд 13

Определение

Касательной к графику функции у=f(x) называется предельное положение секущей. рисунок

Слайд 14

касательная секущая

Слайд 15

Практическая исследовательская работа Геометрический смысл производной

Цель: Используя данные практической работы определить, в чем состоит геометрический смысл производной Оборудование: Линейки, транспортиры, микрокалькуляторы, миллиметровая бумага с построенным графиком

Слайд 16

Задание

1. Постройте касательную к графику функции … в точке с абсциссой хₒ=2 2. Измерьте угол, образованный касательной и положительным направлением оси оХ. 3. Записать =… . 4. Вычислите с помощью микрокалькулятора tg=… . 5. Вычислите f´(xₒ), для этого найдите f´(x) 6. Запишите: f´(x)=…. ; f´(xₒ)=…. 7. Выберите две точки на графике касательной, запишите их координаты. 8. Вычислите угловой коэффициент прямой k по формуле 9. Результаты вычисления внесите в таблицу

Слайд 17

Геометрический смысл производной

Значение производной функции y=f(х)в точке х0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(х) в точке (х0;f(x0))

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Уравнение касательной к графикуфункции

1. Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящую через точку 2. Замените k на, а у=у0+k(x-x0)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Глуховская средняя общеобразовательная школа

Конспект открытого урока по алгебре

на тему:

«Производная и её геометрический смысл. Производная в ЕГЭ»

учитель математики и информатики

Дикалов Дмитрий Геннадьевич

2015

Конспект урока на тему: Производная и её геометрический смысл

Цели урока:

Обучающие:

• Повторить основные понятия раздела «Производная»
• Научить учащихся быстрому решению задач на тему «Производная» из вариантов ЕГЭ

Развивающие:

• Развитие познавательного интереса, логического мышления, развитие памяти, внимательности.
• воспитывать интерес к структуре компьютерных сетей.

Воспитательные:

• воспитывать добросовестное отношение к труду, инициативность;
• воспитание дисциплины и организованности

Тип урока:

• урок повторения и закрепления знаний

Структура урока:

• организационный момент;
• актуализация опорных знаний
• решение задач
• домашнее задание

Оборудование : программа презентаций Microsoft Office PowerPoint, презентация, компьютер, мультимедиа проектор, интерактивная доска.

План урока:

1. Организационный момент (1 мин)
2. Актуализация знаний (5 мин)
3. Решение задач (34 мин)
4. Подведение итогов урока (4 мин)
5. Домашнее задание (1 мин)

Ход урока:

I. Организационный момент

Учитель здоровается, знакомит с темой, целями и ходом урока.

II. Актуализация знаний

1. 1. В чём состоит геометрический смысл производной?
2. Как находятся промежутки возрастания (убывания) функции?
3. Назовите алгоритм нахождения точек экстремума?
4. Чем стационарные точки отличаются от точек экстремума?

III. Решение задач.

Решение задач на нахождение производной в точке, нахождение промежутков возрастания и убывания, нахождение точек в которых производная =0, нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Данные задачи учащиеся решают с использование интерактивной доски, каждая задача изображается на отдельном слайде.

Учащиеся по мере движения слайдов обсуждают нюансы решения задач.

Следующие задачи предлагаются учащимся на самостоятельное решение.

IV. Подведение итогов урока.

Для подведения итогов урока, к доске вызываются 1-2 учащихся для решения задач из учебника №956(1,2): найти интервалы возрастания и убывания функции у=2х 3 +3х 2 -2

Решение учащегося:

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции найдём её производную:

у`=6х 2 +6х

Для нахождения стационарных точек, приравняем производную к 0 и решим данное уравнение, получим точки х=0 и х=-1. Найдем среди этих точек точки экстремума. Для этого определим знак производной на каждом из трёх интервалов. На интервале х0 производная положительна – значит, на этих интервалах функция возрастает. На интервале

1

Учащийся записывает ответ.

V. Домашнее задание

№957, №956(доделать)

Выставление оценок учащимся, активно проявившим себя на уроке.